இரண்டு வளையங்களிலிருந்து ஒரு எடுத்துக்காட்டு வரை. ஒரு மோதிரத்தின் கருத்து, மோதிரங்களின் எளிமையான பண்புகள்

வரையறை 4.1.1. மோதிரம் (கே, +, ) என்பது காலியாக இல்லாத ஒரு இயற்கணித அமைப்பாகும் கேமற்றும் இரண்டு பைனரி இயற்கணித செயல்பாடுகள், அதை நாம் அழைப்போம் கூடுதலாகமற்றும் பெருக்கல். மோதிரம் ஒரு அபெலியன் சேர்க்கை குழுவாகும், மேலும் பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல் ஆகியவை விநியோக விதிகளால் தொடர்புடையவை: ( அ + பி)  c = அ  c + பி  cமற்றும் உடன்  (அ + பி) = c  அ + c  பிதன்னிச்சையாக அ, பி, c  கே.

உதாரணமாக 4.1.1. மோதிரங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுப்போம்.

1. (Z, +, ), (கே, +, ), (ஆர், +, ), (சி, +, ) – முறையே, கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் வழக்கமான செயல்பாடுகளுடன் கூடிய முழு எண், பகுத்தறிவு, உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களின் வளையங்கள். இந்த மோதிரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன எண்ணியல்.

2. (Z/ nZ, +, ) - எச்ச வகுப்புகளின் வளையம் தொகுதி n  என்கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன்.

3. ஒரு கொத்து எம் n (கே) நிலையான வரிசையின் அனைத்து சதுர மெட்ரிக்குகள் n  என்வளையத்திலிருந்து குணகங்களுடன் ( கே, +, ) அணி கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன். குறிப்பாக, கேசமமாக இருக்கலாம் Z, கே, ஆர், சிஅல்லது Z/என்Zமணிக்கு n  என்.

4. ஒரு நிலையான இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து உண்மையான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ( அ; பி) உண்மையான எண் அச்சு, செயல்பாடுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் வழக்கமான செயல்பாடுகளுடன்.

5. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு (பாலினோமியல்கள்) கே[எக்ஸ்] வளையத்திலிருந்து குணகங்களுடன் ( கே, +, ) ஒரு மாறியிலிருந்து எக்ஸ்பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் இயற்கையான செயல்பாடுகளுடன். குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்கள் Z[எக்ஸ்], கே[எக்ஸ்], ஆர்[எக்ஸ்], சி[எக்ஸ்], Z/nZ[எக்ஸ்] மணிக்கு n  என்.

6. திசையன்களின் வளையம் ( வி 3 (ஆர்), +, ) கூட்டல் மற்றும் திசையன் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன்.

7. ரிங் ((0), +, ) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன்: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

வரையறை 4.1.2. வேறுபடுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்றமோதிரங்கள் (தொகுப்பின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையின்படி கே), ஆனால் முக்கிய வகைப்பாடு பெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வேறுபடுத்தி துணைபெருக்கல் செயல்பாடு தொடர்புடையதாக இருக்கும்போது மோதிரங்கள் (எடுத்துக்காட்டு 4.1.1 இன் புள்ளிகள் 1–5, 7) மற்றும் அல்லாத தொடர்புமோதிரங்கள் (எடுத்துக்காட்டு 4.1.1 இன் புள்ளி 6: இங்கே , ). சங்க மோதிரங்கள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன ஒன்றுடன் மோதிரங்கள்(பெருக்கல் தொடர்பாக ஒரு நடுநிலை உறுப்பு உள்ளது) மற்றும் அலகு இல்லாமல், மாற்றத்தக்க(பெருக்கல் செயல்பாடு பரிமாற்றமானது) மற்றும் மாற்றமில்லாதது.

தேற்றம்4.1.1. விடு ( கே, +, ) என்பது ஒரு துணை வளையமாகும். பிறகு பல கே* வளைய உறுப்புகளின் பெருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை தலைகீழானது கே- பெருக்கல் குழு.

குழு 3.2.1 இன் வரையறையின் நிறைவைச் சரிபார்க்கலாம். விடுங்கள் அ, பி  கே*. அதைக் காட்டுவோம் அ  பி  கே * .  (அ  பி) –1 = பி –1  ஏ –1  கே. உண்மையில்,

(அ  பி)  (பி –1  ஏ –1) = அ  (பி  பி –1)  ஏ –1 = அ  1  ஏ –1 = 1,

(பி –1  ஏ –1)  (அ  பி) = பி –1  (ஏ –1  அ)  பி = பி –1  1  பி = 1,

எங்கே ஏ –1 , பி –1  கே- தலைகீழ் கூறுகள் அமற்றும் பிமுறையே.

1) பெருக்கல் கே* கூட்டாக, இருந்து கே- துணை வளையம்.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  கே* , 1 - பெருக்கத்தைப் பொறுத்து நடுநிலை உறுப்பு கே * .

3) க்கு அ  கே * , ஏ –1  கே* , ஏனெனில் ( ஏ –1)  அ= அ  (ஏ –1) = 1
(ஏ –1) –1 = அ.

வரையறை 4.1.3. ஒரு கொத்து கே* வளையத்தின் உறுப்புகளின் பெருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை தலைகீழாக ( கே, +, ) என்று அழைக்கப்படுகின்றன பெருக்கல் வளைய குழு.

உதாரணமாக 4.1.2. பல்வேறு வளையங்களின் பெருக்கல் குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்.

1. Z * = {1, –1}.

2. எம் n (கே) * = ஜி.எல். n (கே), எம் n (ஆர்) * = ஜி.எல். n (ஆர்), எம் n (சி) * = ஜி.எல். n (சி).

3. Z/nZ* – எச்சங்களின் தலைகீழான வகுப்புகளின் தொகுப்பு, Z/nZ * = { | (கே, n) = 1, 0  கே < n), மணிக்கு n > 1 | Z/nZ * | =  (n), எங்கே  - ஆய்லர் செயல்பாடு.

4. (0) * = (0), ஏனெனில் இந்த வழக்கில் 1 = 0. 

வரையறை 4.1.4. ஒரு துணை வளையத்தில் இருந்தால் ( கே, +, ) அலகு குழுவுடன் கே * = கே\(0), 0 என்பது கூட்டலைப் பொறுத்தவரை ஒரு நடுநிலை உறுப்பு, பின்னர் அத்தகைய வளையம் அழைக்கப்படுகிறது உடல்அல்லது உடன் இயற்கணிதம்பிரிவு. பரிமாற்ற உடல் என்று அழைக்கப்படுகிறது களம்.

இந்த வரையறையிலிருந்து அது உடலில் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது கே*   மற்றும் 1  கே* என்பது 1  0, எனவே ஒரு புலமான குறைந்தபட்ச உடல் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது: 0 மற்றும் 1.

உதாரணமாக 4.1.3.

1. (கே, +, ), (ஆர், +, ), (சி, +, ) முறையே பகுத்தறிவு, உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களின் எண் புலங்கள்.

2. (Z/பZ, +, ) - ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்திலிருந்து பஉறுப்புகள் என்றால் ப- முதன்மை எண். உதாரணத்திற்கு, ( Z/2Z, +, ) - இரண்டு உறுப்புகளின் குறைந்தபட்ச புலம்.

3. பரிமாற்றமற்ற உடல் என்பது குவாட்டர்னியன்களின் உடல் - குவாட்டர்னியன்களின் தொகுப்பு, அதாவது வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகள் ம= அ + இரு + cj + dk, எங்கே அ, பி, c, ஈ  ஆர், நான் 2 = = ஜே 2 = கே 2 = –1, நான்  ஜே= கே= – ஜே  நான், ஜே  கே= நான்= – கே  ஜே, நான்  கே= – ஜே= – கே  நான், கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன். மேற்கூறிய சூத்திரங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, குவாட்டர்னியன்கள் காலத்தால் சேர்க்கப்பட்டு பெருக்கப்படுகின்றன. அனைவருக்கும் ம 0 தலைகீழ் குவாட்டர்னியன் வடிவம் கொண்டது:
.

பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் மற்றும் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாத மோதிரங்கள் உள்ளன.

வரையறை 4.1.5. வளையத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் இருந்தால் அமற்றும் பிஅதுபோல் அ  பி= 0, பின்னர் அவை அழைக்கப்படுகின்றன பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள், மற்றும் மோதிரம் தன்னை - பூஜ்ஜிய பிரிப்பான்கள் கொண்ட வளையம். இல்லையெனில், மோதிரம் அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாத வளையம்.

உதாரணமாக 4.1.4.

1. மோதிரங்கள் ( Z, +, ), (கே, +, ), (ஆர், +, ), (சி, +, ) - பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாத வளையங்கள்.

2. வளையத்தில் ( வி 3 (ஆர்), +, ) பூஜ்ஜியம் அல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்பும் பூஜ்ஜிய வகுப்பான்
எல்லோருக்கும்
வி 3 (ஆர்).

3. அணி வளையத்தில் எம் 3 (Z) பூஜ்ஜிய வகுப்பிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மெட்ரிக்குகள்
மற்றும்
, ஏனெனில் ஏ  பி = ஓ(பூஜ்ஜிய அணி).

4. வளையத்தில் ( Z/ nZ, +, ) கலவையுடன் n= கே  மீ, எங்கே 1< கே, மீ < n, எச்ச வகுப்புகள் மற்றும் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள், முதல். 

மோதிரங்கள் மற்றும் புலங்களின் முக்கிய பண்புகளை கீழே வழங்குகிறோம்.

வரையறை 2.5. மோதிரம்அழைக்கப்பட்டது இயற்கணிதம்

ஆர் = (ஆர், +, ⋅, 0 , 1 ),

யாருடைய கையொப்பம் இரண்டு பைனரி மற்றும் இரண்டு நுல்லரி செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஏதேனும் a, b, c ∈ R க்கு பின்வரும் சமத்துவங்கள் உள்ளன:

a+(b+c) = (a+b)+c;
a+b = b+a;
a + 0 = ஒரு;
ஒவ்வொரு a ∈ R க்கும் ஒரு உறுப்பு a" உள்ளது, அதாவது a+a" = 0
a-(b-c) = (a-b)-c;
ஒரு ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a;
a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c, (b + c) ⋅ a = b⋅ a + c⋅a.

செயல்பாடு + அழைக்கப்படுகிறது மோதிரத்தை சேர்க்கிறது , அறுவை சிகிச்சை வளைய பெருக்கல் , உறுப்பு 0 - வளையத்தின் பூஜ்யம் , உறுப்பு 1 - வளைய அலகு .

வரையறையில் குறிப்பிடப்பட்ட 1-7 சமநிலைகள் அழைக்கப்படுகின்றன வளையத்தின் கோட்பாடுகள் . கருத்தின் பார்வையில் இருந்து இந்த சமத்துவங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம் குழுக்கள்மற்றும் மோனோயிட்.

வளைய கோட்பாடுகள் 1-4 என்பது இயற்கணிதம் (R, +, 0 ), இதன் கையொப்பமானது வளையம் + மற்றும் மோதிரத்தின் பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்ப்பதற்கான செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. 0 , இருக்கிறது அபிலியன் குழு. இந்த குழு அழைக்கப்படுகிறது வளையத்தின் சேர்க்கை குழு ஆர் மேலும் அவர்கள் கூடுதலான முறையில் மோதிரம் ஒரு மாற்று (Abelian) குழு என்றும் கூறுகிறார்கள்.

மோதிர கோட்பாடுகள் 5 மற்றும் 6 இயற்கணிதம் (R, ⋅, 1), அதன் கையொப்பம் மோதிரத்தின் பெருக்கல் மற்றும் வளையம் 1 இன் அடையாளத்தை மட்டுமே உள்ளடக்கியது என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த மோனோயிட் என்று அழைக்கப்படுகிறது மோதிரத்தின் பெருக்கல் மோனாய்டு R பெருக்கல் மூலம் ஒரு மோதிரம் ஒரு மோனாய்டு என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

ஒரு வளையத்தைச் சேர்ப்பதற்கும் ஒரு வளையத்தை பெருக்குவதற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு ஆக்ஸியம் 7 ஆல் நிறுவப்பட்டது, இதன்படி பெருக்கத்தின் செயல்பாடு கூட்டலின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து விநியோகிக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ளவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, மோதிரம் என்பது இரண்டு பைனரி மற்றும் இரண்டு நுல்லரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு இயற்கணிதம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்கிறோம். ஆர் =(ஆர், +, ⋅, 0 , 1 ), அதுபோல்:

இயற்கணிதம் (R, +, 0 ) - பரிமாற்றக் குழு;
இயற்கணிதம் (R, ⋅, 1 ) - மோனோயிட்;
செயல்பாடு ⋅ (ஒரு வளையத்தின் பெருக்கல்) செயல்பாடு + (ஒரு வளையத்தின் சேர்த்தல்) தொடர்பாக விநியோகிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு 2.2.இலக்கியத்தில் பெருக்கல் தொடர்பான வளைய கோட்பாடுகளின் வேறுபட்ட கலவை உள்ளது. எனவே, கோட்பாடு 6 இல்லாமல் இருக்கலாம் (இல்லை 1 ) மற்றும் ஆக்சியம் 5 (பெருக்கல் தொடர்புடையது அல்ல). இந்த வழக்கில், துணை வளையங்கள் வேறுபடுகின்றன (இணைப்பு பெருக்கத்தின் தேவை வளையத்தின் கோட்பாடுகளில் சேர்க்கப்படுகிறது) மற்றும் ஒற்றுமையுடன் மோதிரங்கள். பிந்தைய வழக்கில், பெருக்கத்தின் தொடர்பு மற்றும் ஒரு அலகு இருப்பு ஆகியவற்றின் தேவைகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

வரையறை 2.6.மோதிரம் அழைக்கப்படுகிறது மாற்றத்தக்க , அதன் பெருக்கல் செயல்பாடு பரிமாற்றமாக இருந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 2.12. ஏ.இயற்கணிதம் (ℤ, +, ⋅, 0, 1) என்பது பரிமாற்ற வளையமாகும். இயற்கணிதம் (ℕ 0, +, ⋅, 0, 1) வளையமாக இருக்காது, ஏனெனில் (ℕ 0, +) ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு, ஆனால் ஒரு குழு அல்ல.

பி.இயற்கணிதம் ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (k>1) செயல்பாடு ⊕ k இன் கூட்டல் மாடுலோ l மற்றும் ⨀ k (பெருக்கல்) மாடுலோ எல்). பிந்தையது கூட்டல் மாடுலோ l இன் செயல்பாட்டைப் போன்றது: m ⨀ k n என்பது m ⋅ n எண்ணின் k ஆல் வகுத்த மீதமுள்ள பகுதிக்கு சமம். இந்த இயற்கணிதம் ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும், இது அழைக்கப்படுகிறது எச்சங்களின் வளையம் மாடுலோ கே.

வி.இயற்கணிதம் (2 A, Δ, ∩, ∅, A) என்பது ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும், இது செட்களின் வெட்டும் மற்றும் சமச்சீர் வேறுபாட்டின் பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

ஜி.பரிமாற்றமற்ற வளையத்தின் உதாரணம், அணி கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன் நிலையான வரிசையின் அனைத்து சதுர மெட்ரிக்குகளின் தொகுப்பை வழங்குகிறது. இந்த வளையத்தின் அலகு அடையாள அணி, மற்றும் பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜிய அணி.

ஈ.விடுங்கள் எல்- நேரியல் இடம். இந்த இடத்தில் செயல்படும் அனைத்து நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

என்பதை நினைவு கூர்வோம் தொகைஇரண்டு நேரியல் இயக்கிகள் ஏமற்றும் INஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ + பி, அதுபோல் ( ஏ + IN) எக்ஸ் = ஓ +இல், எக்ஸ்∈ எல்.

நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் தயாரிப்பு ஏமற்றும் INலீனியர்-லீனியர் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏபி, அதுபோல் ( ஏபி)எக்ஸ் = ஏ(இல்) யாருக்கும் எக்ஸ் ∈ எல்.

நேரியல் ஆபரேட்டர்களில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, விண்வெளியில் செயல்படும் அனைத்து நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் காட்டலாம். எல், ஆபரேட்டர்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகளுடன் சேர்ந்து, ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த வளையத்தின் பூஜ்யம் பூஜ்ய ஆபரேட்டர், மற்றும் அலகு மூலம் - அடையாள ஆபரேட்டர்.

இந்த மோதிரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் வளையம் நேரியல் இடத்தில் எல். #

மோதிரக் கோட்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன மோதிரத்தின் அடிப்படை அடையாளங்கள் . மோதிர அடையாளம் என்பது ஒரு சமத்துவமாகும், அதில் தோன்றும் மாறிகளுக்கு மோதிரத்தின் ஏதேனும் கூறுகள் மாற்றாக இருக்கும்போது அதன் செல்லுபடியாகும். அடிப்படை அடையாளங்கள் முன்வைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றிலிருந்து பிற அடையாளங்களை அதன் பின்விளைவுகளாகக் கழிக்க முடியும். அவற்றில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

ஒரு வளையத்தின் சேர்க்கை குழு மாற்றத்தக்கது மற்றும் செயல்பாடு அதில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. கழித்தல்.

தேற்றம் 2.8.எந்த வளையத்திலும் பின்வரும் அடையாளங்கள் உள்ளன:

0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 ;
(-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
(a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀அடையாளத்தை நிரூபிப்போம் 0 ⋅ a = 0 . தன்னிச்சையான a க்கு எழுதுவோம்:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

எனவே, ஒரு + 0 ⋅ a = a. அறியப்படாத உறுப்பைப் பொறுத்து ஒரு வளையத்தின் சேர்க்கைக் குழுவில் கடைசி சமத்துவம் ஒரு சமன்பாடாகக் கருதப்படலாம். 0 ⋅ ஏ. சேர்ப்புக் குழுவில் a + x = b வடிவத்தின் எந்தச் சமன்பாடும் x = b - a என்ற தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருப்பதால் 0 ⋅ a = a - a = 0 . அடையாளம் a⋅ 0 = 0 அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது அடையாளத்தை நிரூபிப்போம் - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). எங்களிடம் உள்ளது

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

எங்கிருந்து a ⋅ (-b) = -(a ⋅ b). அதே வழியில், (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும்.

மூன்றாவது ஜோடி அடையாளங்களை நிரூபிப்போம். அவற்றில் முதலாவதாகக் கருதுவோம். மேலே நிரூபிக்கப்பட்டதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், எங்களிடம் உள்ளது

a ⋅ (b - c) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

அந்த. அடையாளம் உண்மை. இந்த ஜோடியின் இரண்டாவது அடையாளம் இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவு 2.1. எந்த வளையத்திலும் அடையாளம் ( -1 ) ⋅ x = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀ஒரு = க்கு தேற்றம் 2.8 இன் இரண்டாவது அடையாளத்திலிருந்து சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தொடர்ச்சி பின்வருமாறு 1 மற்றும் b = x.

தேற்றம் 2.8 இல் நிரூபிக்கப்பட்ட முதல் இரண்டு அடையாளங்கள் ஒரு சொத்தை வெளிப்படுத்துகின்றன பூஜ்ஜியத்தின் சொத்து ரத்து வளையத்தில். இந்த தேற்றத்தின் மூன்றாவது ஜோடி அடையாளங்கள் கழித்தல் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து ஒரு வளையத்தின் பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டின் விநியோக பண்புகளை வெளிப்படுத்துகின்றன. இவ்வாறு, எந்த வளையத்திலும் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, உண்மையான எண்களைச் சேர்க்கும்போதும், கழிக்கும்போதும், பெருக்கும்போதும் அதே வழியில் அடையாளங்களை மாற்றலாம்.

வளையத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் a மற்றும் b ஆர்அழைக்கப்பட்டது பிரிப்பான்கள் பூஜ்யம் , a ⋅ b = என்றால் 0 அல்லது b ⋅ a = 0 . பூஜ்ஜிய வகுப்பியுடன் கூடிய வளையத்தின் உதாரணம் எதையும் கொடுக்கிறது மாடுலோ எச்ச வளையம் k என்றால் k என்பது ஒரு கூட்டு எண்ணாகும். இந்த வழக்கில், சாதாரண பெருக்கத்தின் போது k இன் பெருக்கத்தை வழங்கும் எந்த வகையின் தயாரிப்பு மாடுலோ k பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு எச்ச வளைய மாடுலோ 6 இல், உறுப்புகள் 2 மற்றும் 3 பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள், ஏனெனில் 2 ⨀ 6 3 = 0. மற்றொரு உதாரணம் நிலையான வரிசையின் (குறைந்தபட்சம் இரண்டு) சதுர மெட்ரிக்குகளின் வளையத்தால் வழங்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாம் வரிசை மெட்ரிக்குகளுக்கு எங்களிடம் உள்ளது

a மற்றும் b பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோது, கொடுக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகள் பூஜ்ஜிய வகுப்பான்கள்.

பெருக்கல் மூலம், ஒரு மோதிரம் ஒரு மோனாய்டு மட்டுமே. கேள்வியை முன்வைப்போம்: எந்த சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு பெருக்கல் வளையம் ஒரு குழுவாக இருக்கும்? முதலில், வளையத்தின் அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பு இதில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க 0 ≠ 1 , பூஜ்ஜியத்திற்கு தலைகீழ் இருக்க முடியாது என்பதால், பெருக்கல் குழுக்களை உருவாக்க முடியாது. உண்மையில், அத்தகைய உறுப்பு என்று நாம் கருதினால் 0" உள்ளது, ஒருபுறம், 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , மற்றும் மறுபுறம் - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , இதிலிருந்து 0 = 1. இது நிபந்தனைக்கு முரணானது 0 ≠ 1 . எனவே, மேலே எழுப்பப்பட்ட கேள்வியை பின்வருமாறு செம்மைப்படுத்தலாம்: எந்த சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு வளையத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பு பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு குழுவை உருவாக்குகிறது?

ஒரு வளையத்தில் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இருந்தால், வளையத்தின் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளின் துணைக்குழு பெருக்கல் குழுவை உருவாக்காது, ஏனெனில் இந்த துணைக்குழு பெருக்கல் செயல்பாட்டின் கீழ் மூடப்படவில்லை என்றால், அதாவது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் உள்ளன.

பெருக்கல் மூலம் பூஜ்ஜியம் அல்லாத அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பு ஒரு குழுவை உருவாக்கும் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது உடல் , மாற்று உடல் - களம் , மற்றும் பெருக்கல் மூலம் உடலின் (புலம்) பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளின் குழு - பெருக்கல் குழு இது உடல் (வயல்வெளிகள்) வரையறையின்படி, ஒரு புலம் என்பது ஒரு வளையத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் செயல்பாடுகள் கூடுதல் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. களச் செயல்பாடுகளுக்குத் தேவையான அனைத்து பண்புகளையும் எழுதுவோம். அவர்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்கள் புல கோட்பாடுகள் .

புலம் ஒரு இயற்கணிதம் F = (F, +, ⋅, 0, 1), இதில் கையொப்பம் இரண்டு பைனரி மற்றும் இரண்டு நுல்லரி செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அடையாளங்கள் செல்லுபடியாகும்:

a+(b+c) = (a+b)+c;
a+b = b+a;
a+0 = a;
ஒவ்வொரு a ∈ F க்கும் ஒரு உறுப்பு உள்ளது -a அதாவது a+ (-a) = 0;
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
a ⋅ b = b ⋅ a
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
0 இலிருந்து வேறுபட்ட ஒவ்வொரு a ∈ F க்கும், a -1 என்ற உறுப்பு உள்ளது, அதாவது a ⋅ a -1 = 1;
a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

எடுத்துக்காட்டு 2.13. ஏ.இயற்கணிதம் (ℚ, +, ⋅, 0, 1) எனப்படும் புலம் பகுத்தறிவு எண்களின் புலம் .

பி. இயற்கணிதங்கள் (ℝ, +, ⋅, 0, 1) மற்றும் (ℂ, +, ⋅, 0, 1) புலங்கள் எனப்படும் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களின் புலங்கள் முறையே.

வி. புலம் அல்லாத உடலுக்கான உதாரணம் இயற்கணிதம் குவாட்டர்னியன்கள் . #

எனவே, புலக் கோட்பாடுகள் எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் அறியப்பட்ட விதிகளுக்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். எண் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, நாங்கள் "புலங்களில் வேலை செய்கிறோம்," அதாவது, நாங்கள் முதன்மையாக பகுத்தறிவு மற்றும் உண்மையான எண்களின் புலங்களைக் கையாளுகிறோம், சில நேரங்களில் நாம் சிக்கலான எண்களின் புலத்திற்கு "நகர்கிறோம்".

(K,+, ·) ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும். (K, +) ஒரு Abelian குழு என்பதால், நாம் பெறும் குழுக்களின் பண்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்

SV-VO 1. ஒவ்வொரு வளையத்திலும் (K,+, ·) ஒரு தனித்துவமான பூஜ்ஜிய உறுப்பு 0 உள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு ∈ K க்கும் அதற்கு எதிரே ஒரு தனித்துவமான உறுப்பு உள்ளது -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. எந்த ஒரு a, b ∈ K வளையத்தில் K க்கும் ஒரு தனித்துவமான வேறுபாடு உள்ளது a - b, மற்றும் a − b = a + (−b). இவ்வாறு, கழித்தல் செயல்பாடு வளையம் K இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது 1′-8′ பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

SV-VO 4. K இல் உள்ள பெருக்கல் செயல்பாடு கழித்தல் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதாவது. ∀ a, b, c ∈ K ((a - b)c = ac - bc ∧ c(a - b) = ca - cb).

டாக். a, b, c ∈ K. செயல்பாட்டின் விநியோகம் · K இல் செயல்பாடு + மற்றும் வளையத்தின் உறுப்புகளின் வேறுபாட்டின் வரையறை ஆகியவற்றைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் (a - b)c + bc = ( (a - b) + b)c = ac, வரையறையின்படி வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் அது (a - b)c = ac - bc.

கழித்தல் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடைய பெருக்கல் செயல்பாட்டின் விநியோகத்தின் சரியான சட்டம் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

ஆதாரம். K இலிருந்து ஒரு ∈ K மற்றும் ஒரு b-தன்னிச்சையான உறுப்பு. பிறகு b - b = 0 எனவே, முந்தைய சொத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, a0 = a(b - b) = ab - ab = 0 ஐப் பெறுகிறோம்.

0a = 0 என்பது இதே முறையில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (-a)b = a(-b) = −(ab).

ஆதாரம். a, b ∈ K. பிறகு (−a)b + ab = ((-a) + a)b =

0b = 0. எனவே, (−a)b = -(ab).

சமத்துவம் a(−b) = -(ab) இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (-a)(-b) = ab.

ஆதாரம். உண்மையில், முந்தைய சொத்தை இரண்டு முறை பயன்படுத்தினால், நாம் (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab ஐப் பெறுகிறோம்.

கருத்து. பண்புகள் 6 மற்றும் 7 வளையத்தில் உள்ள அறிகுறிகளின் விதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கூட்டல் செயல்பாடு மற்றும் பண்புகள் 6 மற்றும் 7 ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய வளைய K இல் உள்ள பெருக்கல் செயல்பாட்டின் விநியோகத்திலிருந்து, பின்வருபவை பின்வருமாறு:

SV-VO 8. k, l தன்னிச்சையான முழு எண்களாக இருக்கட்டும். பிறகு ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

சப்ரிங்

ஒரு வளையத்தின் சப்ரிங் (K,+, ·) என்பது K இன் செயல்பாடுகள் + மற்றும் · கீழ் மூடப்பட்டது மற்றும் இந்த செயல்பாடுகளின் கீழ் ஒரு வளையமாகும்.

துணைப்பிரிவுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

எனவே, Z என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (Q,+, ·), Q என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (R,+, ·), Rn×n என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (Cn×n,+, ·) , Z[x] என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் ( R[x],+, ·), D என்பது வளையத்தின் சப்ரிங் (C,+, ·).

எந்த வளையத்திலும் (K,+, ·), கே செட், அதே போல் சிங்கிள்டன் துணைக்குழு (0) ஆகியவை வளையத்தின் (K,+, ·) சப்ரிங்க்களாகும். இவை வளையத்தின் (K,+, ·) அற்பமான சப்ரிங்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சப்ரிங்ஸின் எளிமையான பண்புகள்.

H என்பது வளையத்தின் துணைப்பிரிவாக இருக்கட்டும் (K,+, ·), அதாவது. (H,+, ·) தானே ஒரு வளையம். இதன் பொருள் (H, +)-குழு, அதாவது. H என்பது குழுவின் துணைக்குழு (K, +). எனவே, பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மை.

SV-VO 1. வளையம் K இன் சப்ரிங் H இன் பூஜ்ஜிய உறுப்பு K வளையத்தின் பூஜ்ஜிய உறுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

SV-VO 2. K வளையத்தின் துணைப்பிரிவு H இன் எந்த உறுப்பு a க்கும், H இல் உள்ள அதன் எதிர் உறுப்பு −a உடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது. K இல் அதன் எதிர் உறுப்புடன்.

SV-VO 3. துணைப்பிரிவு H இன் எந்த உறுப்புகளுக்கும் a மற்றும் b க்கும், H இல் உள்ள வேறுபாடு a − b உறுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது. K இல் இந்த கூறுகளின் வேறுபாட்டுடன்.

ஒரு சப்ரிங் அறிகுறிகள்.

கோட்பாடு 1 (ஒரு துணைப்பிரிவின் முதல் அடையாளம்).

+ மற்றும் · செயல்பாடுகளுடன் கூடிய வளையம் K இன் காலியாக இல்லாத துணைக்குழு H என்பது பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் மட்டுமே வளையம் K இன் துணைக்குழு ஆகும்:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

அவசியம். H என்பது வளையத்தின் துணைப்பிரிவாக இருக்கட்டும் (K,+, ·). பின்னர் H என்பது குழுவின் துணைக்குழுவாகும் (K, +). எனவே, துணைக்குழுவின் முதல் அளவுகோலின் மூலம் (சேர்க்கை உருவாக்கத்தில்), H நிபந்தனைகளை (1) மற்றும் (2) பூர்த்தி செய்கிறது. மேலும், K இல் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கல் செயல்பாட்டின் கீழ் H மூடப்பட்டுள்ளது, அதாவது. எச்

நிபந்தனையையும் திருப்திப்படுத்துகிறது (3).

போதுமானது. H ⊂ K, H 6= ∅ மற்றும் H நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யட்டும் (1) - (3). நிபந்தனைகளிலிருந்து (1) மற்றும் (2) துணைக்குழுவின் முதல் அளவுகோலின்படி H என்பது குழுவின் துணைக்குழு (K, +), அதாவது. (எச், +)-குழு. மேலும், (K, +) ஒரு Abelian குழு என்பதால், (H, +) என்பதும் Abelian ஆகும். கூடுதலாக, நிபந்தனை (3) இல் இருந்து, பெருக்கல் என்பது H தொகுப்பின் பைனரி செயல்பாடு. போன்ற பண்புகள் உள்ளன.

கோட்பாடு 2 (ஒரு துணைப்பிரிவின் இரண்டாவது அடையாளம்).

+ மற்றும் · என்பது செயல்பாடுகளுடன் கூடிய வளையம் K இன் காலியாக இல்லாத துணைக்குழு H

வளையம் K t. மற்றும் t. t, பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் போது

∀ a, b ∈ H a - b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் தேற்றம் 1 இன் சான்றுக்கு ஒத்ததாகும்.

இந்த வழக்கில், தேற்றம் 2′ (சேர்க்கை உருவாக்கத்தில் ஒரு துணைக்குழுவின் இரண்டாவது அளவுகோல்) மற்றும் அதற்கு ஒரு குறிப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

7.Field (வரையறை, வகைகள், பண்புகள், பண்புகள்).

புலம் என்பது அடையாளத்துடன் கூடிய பரிமாற்ற வளையமாகும் e 0 க்கு சமமாக இல்லை , இதில் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு தலைகீழ் உள்ளது.

எண் புலங்களின் கிளாசிக் எடுத்துக்காட்டுகள் புலங்கள் (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

சொத்து 1 . ஒவ்வொரு துறையிலும்எஃப் சுருக்க விதி செல்லுபடியாகும்

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட பொதுவான காரணி மூலம், அதாவது.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a என்பது 0 ⇒ b = c க்கு சமம் அல்ல).

சொத்து 2 . ஒவ்வொரு துறையிலும்எஃப் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை.

சொத்து 3 . மோதிரம்(கே,+, ·) ஒரு துறையில் இருந்தால் மட்டுமே

பல இருக்கும் போதுகே\(0) பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து பரிமாற்றக் குழுவாகும்.

சொத்து 4 . வரையறுக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியமற்ற பரிமாற்ற வளையம்(கே,+, ·) பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாமல் ஒரு புலம்.

புல உறுப்புகளின் அளவு.

(F,+, ·) ஒரு புலமாக இருக்கட்டும்.

பகுதி கூறுகள்அ மற்றும்பி வயல்வெளிகள்எஃப் , எங்கே b என்பது 0க்கு சமமாக இல்லை ,

அத்தகைய உறுப்பு அழைக்கப்படுகிறது c ∈ F , என்ன a = கி.மு .

சொத்து 1 . எந்த உறுப்புகளுக்கும்அ மற்றும்பி வயல்வெளிகள்எஃப் , எங்கே b என்பது 0க்கு சமமாக இல்லை , ஒரு தனித்துவமான விகுதி உள்ளது a/b , மற்றும் a/b= ab−1.

சொத்து 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a= இ மற்றும்∀ a ∈ F a/e= a.

சொத்து 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

சொத்து 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

சொத்து 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

சொத்து 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

சொத்து 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

சொத்து 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

களம்எஃப் , அதன் அலகு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கொண்டுள்ளதுப குழுவில்(F, +) ப .

களம்எஃப் அலகு, இது குழுவில் எல்லையற்ற வரிசையைக் கொண்டுள்ளது(F, +) , பண்பு புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது 0.

8. துணை புலம் (வரையறை, வகைகள், பண்புகள், பண்புகள்)

புல துணைப் புலம்(F,+, ·) துணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறதுஎஸ் அமைக்கிறதுஎஃப் , இது செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது+ மற்றும்· , இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதுஎஃப் , மற்றும் இந்த செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய ஒரு துறையாகும்.

புலத்தின் Q-துணைப்புலம் (R,+, ·);

புலத்தின் R-துணைப்புலம் (C,+, ·);

பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மை.

சொத்து 1 . துணை புல உறுப்பு பூஜ்யம்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் உடன் ஒத்துப்போகிறது

புலத்தின் பூஜ்ஜிய உறுப்புஎஃப் .

சொத்து 2 . ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும்அ துணை புலங்கள்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் அதன் எதிர் உறுப்புஎஸ் உடன் ஒத்துப்போகிறது−a , அதாவது அதன் எதிர் உறுப்புடன்எஃப் .

சொத்து 3 . எந்த உறுப்புகளுக்கும்அ மற்றும்பி துணை புலங்கள்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் அவர்களது

உள்ள வேறுபாடுஎஸ் உடன் ஒத்துப்போகிறது a−b அந்த. இந்த உறுப்புகளின் வேறுபாட்டுடன்எஃப் .

சொத்து 4 . துணை புல அலகுஎஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது

இ வயல்வெளிகள்எஃப் .

சொத்து 5 . ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும்அ துணை புலங்கள்எஸ் வயல்வெளிகள்எஃப் , இருந்து-

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து தனிப்பட்டது, அதன் தலைகீழ் உறுப்புஎஸ் உடன் ஒத்துப்போகிறது a−1 , அதாவது தலைகீழ் உறுப்புடன்அ விஎஃப் .

துணை புலத்தின் அறிகுறிகள்.

கோட்பாடு 1 (ஒரு துணை புலத்தின் முதல் அடையாளம்).

துணைக்குழுஎச் வயல்வெளிகள்எஃப் செயல்பாடுகளுடன்+, · , பூஜ்யம் அல்லாதவற்றைக் கொண்டுள்ளது

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H - a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

கோட்பாடு2 (துணைப்புலத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்).

உறுப்பு என்பது புலத்தின் துணைப் புலமாகும்(F,+, ·) பின்வரும் நிபந்தனைகளை அது பூர்த்தி செய்தால் மட்டுமே:

∀ a, b ∈ H a - b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Z வளையத்தில் வகுக்கும் உறவு

அறிக்கை: R தொகுப்பில் உள்ள பரிமாற்ற வளையத்தின் a,b,c எந்த உறுப்புகளுக்கும், பின்வரும் தாக்கங்கள் இருக்கும்:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (பி சி)

3) a|b => a|bc

எந்த a, b Z க்கும் பின்வருபவை உண்மை:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b மற்றும் b|a ó |a|=|b|

முழு எண் a ஐ முழு எண்ணாக b ஆல் பிரிப்பது என்பது q மற்றும் r ஆகிய முழு எண்களைக் கண்டறிவது ஆகும்

தேற்றம்: a மற்றும் b Z, b≠0 எனில், ஒரு மீதியைக் கொண்டு a ஐ b ஆல் வகுக்க முடியும், மேலும் முழுமையடையாத பகுதியும் மீதியும் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படும்.

இணை, a மற்றும் b Z , b≠0 எனில், b|a ó

11. GCD மற்றும் NOC

Z எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் (GCD) பின்வரும் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் சில எண் d ஆகும்

1) d என்பது ஒரு பொதுவான வகுப்பி, அதாவது. ஈ| ,d| …டி|

2) d என்பது எண்களின் பொதுவான வகுப்பினால் வகுபடும், அதாவது. ஈ| ,d| …டி| =>d| ,d| …டி|

சிறுகுறிப்பு: இந்த விரிவுரை வளையங்களின் கருத்துகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. வளைய உறுப்புகளின் அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் துணை வளையங்கள் கருதப்படுகின்றன. பல சிறப்பியல்பு சிக்கல்கள் கருதப்படுகின்றன, முக்கிய கோட்பாடுகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் சுயாதீனமான கருத்தில் சிக்கல்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

மோதிரங்கள்

இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகள் (கூடுதல் + மற்றும் பெருக்கல்) கொண்ட ஒரு தொகுப்பு R அழைக்கப்படுகிறது அலகுடன் துணை வளையம், என்றால்:

பெருக்கல் செயல்பாடு பரிமாற்றமாக இருந்தால், வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மாற்றத்தக்கமோதிரம். பரிமாற்ற வளையங்கள் என்பது பரிமாற்ற இயற்கணிதம் மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலில் ஆய்வு செய்யும் முக்கிய பொருட்களில் ஒன்றாகும்.

குறிப்புகள் 1.10.1.

எடுத்துக்காட்டுகள் 1.10.2 (துணை வளையங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்).

எச்சங்களின் குழு என்று ஏற்கனவே பார்த்தோம் (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, மாடுலோ n கூட்டல் செயல்பாட்டுடன், ஒரு பரிமாற்றக் குழுவாகும் (எடுத்துக்காட்டு 1.9.4, 2 ஐப் பார்க்கவும்)).

அமைப்பதன் மூலம் பெருக்கல் செயல்பாட்டை வரையறுப்போம். இந்த செயல்பாட்டின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும். C k =C k" , C l =C l" என்றால் k"=k+nu , l"=l+nv , எனவே C k"l" =C kl .

ஏனெனில் (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k, C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, பின்னர் அலகு C 1 எச்சம் வளைய மாடுலோ n உடன் ஒரு துணை பரிமாற்ற வளையமாகும்.

மோதிரங்களின் பண்புகள் (R,+,.)

லெம்மா 1.10.3 (நியூட்டனின் ஈருறுப்பு). R என்பது 1 , , உடன் வளையமாக இருக்கட்டும். பிறகு:

ஆதாரம்.

வரையறை 1.10.4. R வளையத்தின் துணைக்குழு S அழைக்கப்படுகிறது சப்ரிங், என்றால்:

a) S என்பது குழுவில் (R,+) சேர்ப்பதைப் பொறுத்து ஒரு துணைக்குழு ஆகும்;

b) எங்களிடம் உள்ளது;

c) 1 உடன் R மோதிரத்திற்கு அது கருதப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள் 1.10.5 (சப்ரிங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்).

சிக்கல் 1.10.6. எச்ச வளையம் Zn மாடுலோ n இல் உள்ள அனைத்து சப்ரிங்க்களையும் விவரிக்கவும்.

குறிப்பு 1.10.7. Z 10 வளையத்தில், 5 இன் மடங்குகளாக இருக்கும் தனிமங்கள் 1 உடன் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகின்றன, இது Z 10 இல் உள்ள சப்ரிங் அல்ல (இந்த வளையங்கள் வெவ்வேறு அலகு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன).

வரையறை 1.10.8. R என்பது வளையம் மற்றும் , ab=0 எனில், a உறுப்பு R இல் இடது பூஜ்ஜிய வகுப்பி என்றும், b உறுப்பு R இல் வலது பூஜ்ஜிய வகுப்பி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு 1.10.9. பரிமாற்ற வளையங்களில், நிச்சயமாக, இடது மற்றும் வலது பூஜ்ஜிய வகுப்பிகளுக்கு இடையில் எந்த வித்தியாசமும் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1.10.10. Z, Q, R இல் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1.10.11. தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வளையம் C பூஜ்ஜிய வகுப்பிகளைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், என்றால்

பிறகு , , fg=0 .

எடுத்துக்காட்டு 1.10.12. n=kl என்றால், 1

லெம்மா 1.10.13. R வளையத்தில் (இடது) பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை என்றால், ab=ac இலிருந்து, எங்கே , , இது b=c (அதாவது, இடது பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாவிட்டால் இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு மூலம் ரத்துசெய்யும் திறன்; வலதுபுறம் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லை என்றால்).

ஆதாரம். ab=ac என்றால், a(b-c)=0 . a என்பது இடது பூஜ்ஜிய வகுப்பி அல்ல என்பதால், b-c=0, அதாவது b=c.

வரையறை 1.10.14. உறுப்பு அழைக்கப்படுகிறது செயலற்ற, சிலருக்கு x n =0 என்றால் . மிகச்சிறிய இயற்கை எண் n என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு தனிமத்தின் சக்தியின் அளவு .

ஒரு சக்தியற்ற உறுப்பு பூஜ்ஜிய வகுப்பான் என்பது தெளிவாகிறது (என்>1 என்றால் , ). நேர்மாறான கூற்று உண்மையல்ல (Z 6 இல் nilpotent உறுப்புகள் எதுவும் இல்லை, ஆனால் 2, 3, 4 ஆகியவை பூஜ்ஜியத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற வகுப்பிகள்).

உடற்பயிற்சி 1.10.15. வளையம் Z n ஆனது m 2 ஆல் வகுபடும் பட்சத்தில் மட்டுமே சக்தியற்ற கூறுகளைக் கொண்டிருக்கும், எங்கே , .

வரையறை 1.10.16. R வளையத்தின் x உறுப்பு அழைக்கப்படுகிறது முட்டாள்தனமான, x 2 =x என்றால். 0 2 =0, 1 2 =1 என்பது தெளிவாகிறது. x 2 = x மற்றும் , x(x-1)=x 2 -x=0 எனில், அதனால் அற்பமற்ற ஐடெம்போடென்ட்கள் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள்.

துணை வளையமான R இன் தலைகீழ் உறுப்புகளின் தொகுப்பை U(R) குறிக்கலாம், அதாவது தலைகீழ் உறுப்பு s=r -1 (அதாவது rr -1 =1=r -1 r ).

உதாரணமாக 4.1.1. மோதிரங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுப்போம்.

2. (Z/nZ, +, ) - எச்ச வகுப்புகளின் வளையம் தொகுதி n  என்கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன்.

4. ஒரு நிலையான இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து உண்மையான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ( அ; பி) உண்மையான எண் கோடு, செயல்பாடுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் வழக்கமான செயல்பாடுகளுடன்.

7. ரிங் ((0), +, ) கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன்: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

வரையறை 4.1.2. வேறுபடுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்றமோதிரங்கள் (தொகுப்பின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையின்படி கே), ஆனால் முக்கிய வகைப்பாடு பெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வேறுபடுத்தி துணைபெருக்கல் செயல்பாடு தொடர்புடையதாக இருக்கும்போது மோதிரங்கள் (எடுத்துக்காட்டு 4.1.1 இன் புள்ளிகள் 1–5, 7) மற்றும் அல்லாத தொடர்புமோதிரங்கள் (எடுத்துக்காட்டு 4.1.1 இன் புள்ளி 6: இங்கே ,). சங்க மோதிரங்கள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன ஒன்றுடன் மோதிரங்கள்(பெருக்கல் தொடர்பாக ஒரு நடுநிலை உறுப்பு உள்ளது) மற்றும் அலகு இல்லாமல், மாற்றத்தக்க(பெருக்கல் செயல்பாடு பரிமாற்றமானது) மற்றும் மாற்றமில்லாதது.

(அ  பி)  (பி –1  ஏ –1) = அ  (பி  பி –1)  ஏ –1 = அ  1  ஏ –1 = 1,

(பி –1  ஏ –1)  (அ  பி) = பி –1  (ஏ –1  அ)  பி = பி –1  1  பி = 1,

எங்கே ஏ –1 , பி –1  கே- தலைகீழ் கூறுகள் அமற்றும் பிமுறையே.

1) பெருக்கல் கே* கூட்டாக, இருந்து கே- துணை வளையம்.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  கே* , 1 - பெருக்கத்தைப் பொறுத்து நடுநிலை உறுப்பு கே * .

3) க்கு அ  கே * , ஏ –1  கே* , ஏனெனில் ( ஏ –1)  அ = அ  (ஏ –1) = 1
(ஏ –1) –1 = அ.

1. Z * = {1, –1}.

2. எம் n (கே) * = ஜி.எல். n (கே), எம் n (ஆர்) * = ஜி.எல். n (ஆர்), எம் n (சி) * = ஜி.எல். n (சி).

4. (0) * = (0), ஏனெனில் இந்த வழக்கில் 1 = 0. 

உதாரணமாக 4.1.3.

1. (கே, +, ), (ஆர், +, ), (சி, +, ) - முறையே எண் புலங்கள்பகுத்தறிவு, உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்கள்.

3. மாற்றமில்லாத உடல் என்பது குவாட்டர்னியன் உடல்- அமைக்க குவாட்டர்னியன்கள், அதாவது, வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகள் ம= அ + இரு + cj + dk, எங்கே அ, பி, c, ஈ  ஆர், நான் 2 = = ஜே 2 = கே 2 = – 1, நான்  ஜே= கே= – ஜே  நான், ஜே  கே= நான்= – கே  ஜே, நான்  கே= – ஜே= – கே  நான், கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன். மேற்கூறிய சூத்திரங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, குவாட்டர்னியன்கள் காலத்தால் சேர்க்கப்பட்டு பெருக்கப்படுகின்றன. அனைவருக்கும் ம 0 தலைகீழ் குவாட்டர்னியன் வடிவம் கொண்டது:
.

பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் மற்றும் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள் இல்லாத மோதிரங்கள் உள்ளன.

உதாரணமாக 4.1.4.

4. வளையத்தில் ( Z/nZ, +, ) கலவையுடன் n = கே  மீ, எங்கே 1< கே, மீ < n, எச்ச வகுப்புகள் மற்றும் பூஜ்ஜிய வகுப்பிகள், என்பதால். 

மோதிரங்கள் மற்றும் புலங்களின் முக்கிய பண்புகளை கீழே வழங்குகிறோம்.